Ранг матриці це:
Математика – це наука, яка допомагає нам розв’язувати різноманітні завдання та задачі. У процесі вивчення математики ми стикаємося з різними поняттями та термінами, які іноді можуть бути незрозумілими. Одним з таких понять є ранг матриці. Що це означає і як його розрахувати? Прочитайте нашу статтю, щоб дізнатися більше про це поняття.
Зміст
Основи
Перш за все, давайте розглянемо, що таке матриця. Матриця – це таблиця з числових елементів, розміщених у вигляді рядків та стовпців. Наприклад, матриця 3 на 3 має три рядки та три стовпці і виглядає наступним чином:
$$
A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
$$
Ранг матриці – це кількість лінійно незалежних рядків або стовпців в матриці. Лінійно незалежні рядки або стовпці – це ті, які не можуть бути отримані шляхом множення на деяке число. Наприклад, якщо ми маємо матрицю:
$$
B =
\begin{bmatrix}
2 & 4 & 6 \\
1 & 2 & 3 \\
3 & 6 & 9
\end{bmatrix}
$$
Тут ми бачимо, що другий рядок можна отримати шляхом множення першого на 2. Таким чином, ці два рядки не є лінійно незалежними. Тому ранг матриці В дорівнює 2.
Розрахунок рангу матриці
Існує декілька методів для розрахунку рангу матриці. Один з них – метод Гауса, який ми розглянемо далі.
1) Спочатку необхідно записати матрицю у розширену форму, додавши до неї стовпець з нулями справа. Наприклад, якщо ми маємо матрицю А, то розширена форма буде виглядати так:
$$
A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & 0 \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0
\end{bmatrix}
$$
2) Далі ми використовуємо метод Гауса для зведення матриці до ступеневого вигляду. Це означає, що ми застосовуємо до матриці певні операції, які не змінюють її ранг. Такі операції включають в себе додавання одного рядка до іншого, множення рядка на деяке число та обмін рядків місцями.
3) Продовжуємо застосовувати ці операції до матриці, поки не отримаємо ступеневий вигляд, де перші ненульові елементи кожного рядка знаходяться праворуч від нульових елементів на попередніх рядках.
4) Кількість ненульових рядків у ступеневому вигляді матриці буде рангом матриці.
